Phép chia đa thức cho đa thức là một trong những bài toán quan trọng thường gặp trong các bài kiểm tra và kì thi ở lớp 8. Cách chia đa thức cho đa thức tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết, cách tính toán, ví dụ minh họa cùng với một số bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp học sinh củng cố và làm chắc vững kiến thức cơ bản, áp dụng trong giải các bài tập cơ bản để đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới.
I. Lý thuyết về phép chia đa thức cho đa thức
Chúng ta trình bày phép chia giống như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, khi B khác không, tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:
A = B . Q + R, với R = 0 hoặc R≠ 0 và bậc của R nhỏ hơn bậc của B
- Nếu R = 0, ta thực hiện phép chia mà không có phần dư.
- Nếu R ≠ 0, ta thực hiện phép chia với phần dư.
Có thể sử dụng hằng đẳng thức để tối giản phép chia.
II. Ví dụ về phép chia đa thức cho đa thức
Ví dụ 1:
Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia sau:
Hướng dẫn giải như sau:
Ví dụ 2:
Hướng dẫn giải:
Dựa vào hướng dẫn trên, chúng ta sẽ có biểu đồ Hoocne như sau:
*Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hoocne. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng sơ đồ:
- Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.
- Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.
- Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).
III. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao
Tìm thương và số dư khi chia đa thức
- Phương pháp: Từ điều kiện đã cho trong đề bài, ta đặt phép chia là A:B, kết quả được thương là Q và số dư là R.
Tìm điều kiện để đa thức A chia hết cho đa thức B
Ví dụ:
Hướng dẫn giải
Do đó, để phép chia hết, điều kiện cần là 3 phải chia hết cho 2n+1. Tức là cần tìm giá trị nguyên của n sao cho 2n+1 là ước của 3. Giải phương trình sau ta được:
Vậy n = 1; n = 0; n = 2 là các giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài.
Áp dụng định lý Bezout khi giải bài toán
Hơn nữa, còn có các dạng bài toán khác như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.
IV. Bài tập về phép chia đa thức cho đa thức trong chương trình lớp 8
A. Phần tự luận
Bài 1: Tính nhanh:
Phương pháp giải
Bài 2: Thực hiện phép chia:
Bài 3: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:
Bài 4: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi làm phép chia:
Bài 5:
Bài 6
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Bài 8: Thực hiện phép chia đa thức:
Bài 9: Giải các phương trình dưới đây:
B. Kiểm tra kiến thức
Bài 1: Kết quả của phép chia ( 7×3 – 7x + 42 ):( x2 – 2x + 3 ) là ?
A. – 7x + 14 B. 7x + 14C. 7x – 14 D. – 7x – 14
Bài 2: Đa thức dư của phép chia x3 + x2 – 4x + 7 cho x2 – 2x + 5 là ?
A. 3x – 7. B. – 3x – 8.C. – 15x + 7. D. – 3x – 7.
Bài 3: Hệ số a sao cho 4×2 – 6x + a chia hết cho x – 3 là ?
A. a = – 18. B. a = 8.C. a = 18. D. a = – 8.
Bài 4: Thực hiện phép chia: (4×4 + x + 2×3 – 3×2) : (x2 + 1) có số dư là:
A. – x + 7B. 4×2 + 2x – 7C. 4×2 – 2x + 7D. x – 7
Bài 5: Thực hiện phép chia (3×3 + 2x + 1 ) : (x + 2) có đa thức dư là:
A. 10 B. -9C. – 15 D. – 27
Bài 6: Thực hiện phép chia (-4×4 + 5×2 + x ) : (x2 + x) ta được kết quả là:
A. – 4×4 + 5×2 + x = (x2 + x).(-4×2 – 4x + 9) – 6xB. – 4×4 + 5×2 + x = (x2 + x).(4×2 + 4x + 9) + 12xC. – 4×4 + 5×2 + x = (x2 + x).(-4×2 + 4x + 9) – 8xD. – 4×4 + 5×2 + x = (x2 + x). ( 4×2 – 4x + 9) + 10x
Bài 7: Cho phép chia: (x3 + 9×2 + 27x + 27) : (x + 3). Tìm khẳng định sai?
A. Đây là phép chia hếtB. Thương của phép chia là: (x + 3)2C. Thương của phép chia là: x2 + 6x + 9D. Số dư của phép chia là: x – 3 .
Bài 8: Thực hiện phép chia: (x2y + 4xy + 3y ) : (x + 1) ta được thuơng là:
A. xy + 3 B. x + 3yC. x + y + 3 D. y. (x + 3)
Bài 9: Tìm a để phép chia (x3 – 4x + a): (x – 2) là phép chia hết:
A. a = 0 B. a = 4C. a = -8D. a = 8
Bài 10: Kết quả của phép chia (2a3 + 7ab2 – 7a2 – 2b3) : (2a – b) là
A. (a – b)(a – 2b)B. (a + b)2C. (a – b)(b – 2a)D. a – b
Lời giải
Khi đó, ta có 2a3 + 7ab2 – 7a2 – 2b3
= 2(a3 – b3) – 7ab(a – b)
= 2(a – b)(a2 + ab + b2) – 7ab(a – b)
= (a – b)(2a2 – ab – 4ab + 2b2)
= (a – b)[a(2a – b) – 2b(2a – b)]
= (a – b)(2a – b)(a – 2b)
Vậy (2a3 + 7ab2 – 7a2 – 2b3) : (2a – b)
= (a – b)(2a – b)(a – 2b) : (2a – b) = (a – b)(a – 2b)
Đáp án cần chọn là: A
Bài 11: Kết quả của phép chia (x4 – x3y + x2y2 – xy3) : (x2 + y2) là
A. (x – y)B. x(x – y)C. x2 – yD. x2 + xy
Lời giải
Ta có x4 – x3y + x2y2 – xy3
= x4 + x2y2 – (x3y + xy3)
= x2(x2 + y2) – xy(x2 + y2)
= (x2 + y2)(x2 – xy) = (x2 + y2)x(x – y)
Nên (x4 – x3y + x2y2 – xy3) : (x2 + y2)
= (x2 + y2)x(x – y) : (x2 + y2) = x(x – y)
Đáp án cần lựa chọn là: B
Bài 12: Xác định giá trị của a để đa thức 27×2 + a chia hết cho 3x + 2
A. x = 6B. a = 12C. a = -12D. a = 9
Lời giải: Đáp án C
Bài 13: Xác định giá trị của a để đa thức 10×2 – 7x + a chia hết cho 2x – 3
A. a = 24B. a = 12C. a = -12D. a = 9
Lời giải: Đáp án C